• mathiculus

מה הסיפור של אפס עצרת !0?

עודכן: 14 בינו׳ 2021

במסגרת שאלות שתמיד שואלים אותנו, הפעם ננסה להסביר למה 1=!0?


אפס עצרת

קודם כל, מה זה בכלל "עצרת"?

עצרת היא מכפלת כל המספרים הטבעיים מ1 עד למספר הנתון. זאת אומרת, מה שבעצם צריך לעשות כדי לחשב עצרת של מספר מסוים היא להכפיל את כל המספרים מ1 עד אותו מספר. לדוגמא: 24=!4=1X2X3X4 6=!3=1X2X3 בפעולת העצרת נשתמש לרוב בתחום הקומבינטוריקה וההסתברות. אז למה בעצם התוצאה של !0 היא 1? יש כמה הסברים. הסבר ראשון (דפוס קבוע): הגדרנו את העצרת כמכפלת כל המספרים הטבעיים מ1 ועד המספר הנתון. מדוע 0 לא כלול בהגדרה הזו? הרי גם המספר אפס הוא טבעי. אם נכלול את 0 בהגדרה, לא תהיה משמעות לפעולת העצרת. כל התוצאות יהיו שוות ל0. דבר נוסף- אם הולכים "ברברס" בעצרת, כל תוצאה של מספר מסוים בעצרת, קטנה מהמספר העוקב לו (למשל, 6=!3, 2=!2) אז למה !0 לא קטן מ!1? התשובה נובעת מהמיקום של המספר אפס על ציר המספרים הטבעיים. 0 הוא הראשון בתור, מה שאומר שיש מספרים אחריו אבל אין מספרים לפניו. כדי להגיע לתוצאת פעולת עצרת על מספר שבחרנו, אפשר לכפול את עצרת המספר הקודם לו במספר שבחרנו או לחלק את עצרת המספר העוקב במספר העוקב. זאת אומרת, כדי ללכת "קדימה" בעצרת- כופלים וכדי ללכת "אחורה" מחלקים. למשל- כדי להגיע ל!5 אפשר לקחת את התוצאה של !4 ולהכפיל אותה ב-5 או לקחת את !6 ולחלק ב-6. כך זה נראה: !6=1X2X3X4X5X6 נחלק ב6 ונקבל 1X2X3X4X5 שזה !5 באותה שיטה: !5=1X2X3X4X5 נחלק ב5 ונקבל 1X2X3X4 שזה !4 !4=1X2X3X4 נחלק ב4 ונקבל 1X2X3 שזה !3 !3=1X2X3 נחלק ב3 ונקבל 1X2 שזה !2 !2=1X2 נחלק ב2 ונקבל 1 שזה !1 כבר אמרנו ש-0 הוא מיוחד משום שאין מספרים טבעיים הקודמים לו ולכן ניתן להגיע לתוצאה של !0 רק באמצעות חילוק עצרת המספר הקודם לו בעצמו. 1=!1 נחלק ב1 ונקבל את !0 שזה 1.

 אפס עצרת

הסבר שני (קומבינטוריקה): אחד השימושים של עצרת הוא בקומבינטוריקה. בקומבינטוריקה משתמשים בין השאר לחישוב מספר אופנים לסדר דברים. לדוגמא, אם נרצה לחשב את מספר הדרכים האפשריות לסדר 3 בע"ח: גמל, ארנב ופרה בשורה נגיע ל!3=6 דרכים (ארנב-פרה-גמל, ארנב-גמל-פרה, פרה-גמל-ארנב, פרה-ארנב-גמל, גמל-פרה- ארנב, גמל-ארנב-פרה). באותו אופן, אם נסדר 2 בע"ח בשורה נגיע ל2=!2 סידורים (גמל-פרה, פרה-גמל) ולסידור אחד אם מסדרים בע"ח אחד. מכאן,יש רק דרך אחת לסדר 0 בע"ח (!0), הנה היא: וזו הסיבה ש1=!0.

קובינטוריקה ואפס עצרת

הסבר שלישי למתקדמים (נוסחה): נקח את פונקציית ההתפלגות גמא, נציב בה n=0 ונפשט כך:


הוכחת אפס עצרת לפי נוסחת התפלגות גמא





3,372 צפיות2 תגובות