מה נעשה עם האפס הזה?\ חלק ראשון

במסגרת פינתנו: "דברים שלא מסבירים טוב או לא מסבירים בכלל בבית ספר" נקדיש שתי פינות שבועיות לאפס הזה. כן! זה שתמיד מייצר לנו בעיות, זה שאנחנו עוצרים שניה לפני שמחליפים איתו פעולה מתמטית וזה שעוצרים אחרי פעולה איתו ליותר משנייה כדי להבין למה אנחנו חוזרים אחרי המורה כמו תוכים בלי להבין כלום או שבוהים ב MATH ERROR במחשבון אחרי פעולת החלוקה בו.

אז למה בעצם משננים לנו את המנטרה שאסור לחלק באפס?

תחילה, בואו נבסס את העובדה כי חילוק הוא למעשה פעולה מבוססת חיסור חוזר.

לדוגמא,

15-5-5-5<--15:5

אנחנו מחסרים מ15 קבוצות של 5 עד שנגמר לנו הסטוק של ה15.

תוצאת תרגיל החילוק (המנה) תהיה מספר הפעמים שהשתמשנו ב-5 (במקרה הזה, התוצאה היא 3).

באותה צורה אפשר לבדוק חלוקה באפס

1-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-<--1:0

במקרה הזה הסטוק של 1 לא ייגמר לעולם ו-0 ייכנס בו אינסוף פעמים.

זאת אומרת, אם מחלקים מספר ב-0 המנה תהיה שווה לאינסוף לפי הטענה הזו.

נסתכל מזוית אחרת על חלוקה באפס וננסה להתקרב לאפס מהכיוון החיובי:

10=1:0.1

100=1:0.01

1,000=1:0.001

10,000=1:0.0001

אתם מבינים לאן זה הולך, נכון? ככל שנחלק את 1 במספרים שיותר קרובים לאפס מהכיוון החיובי כך נקבל מספרים יותר ויותר גדולים. מכאן משתמע, שכשנחלק באפס נקבל אינסוף.

נראה כאילו הגענו לתשובה מוחלטת, בשני המקרים שבדקנו חלוקה של 1 באפס מובילה לאינסוף.

נערוך עוד בדיקה-

האם זה כך גם מהכיון השני של ציר המספרים, הכיוון השלילי?

10- = ( 0.1 - ):1

100- = ( 0.01 - ):1

1,000- = ( 0.001 - ):1 10,000- = ( 0.0001 - ):1 אתם מבינים לאן זה הולך, נכון? ככל שנחלק את 1 במספרים שלילים שיותר קרובים לאפס כך נקבל מספרים יותר ויותר קטנים (ז"א מינוסים יותר ויותר גדולים). מכאן משתמע, שכשנחלק 1 באפס נקבל מינוס אינסוף.

וזו הסיבה המרכזית לביטוי בח"מ (ביטוי חסר משמעות) שנתקלים בו כאשר יש חלוקה ב0.

לא ייתכן ש1:0 יהיה שווה בחישוב אחד לפלוס אינסוף ובחישוב שני למינוס אינסוף .

אנחנו יודעים שהתוצאה חייבת להיות מוחלטת.

המנה של תרגיל החלוקה ב-0 נקראת חסרת משמעות משום שאין מספר אחד שיתן משמעות כלומר תוצאה הגיונית מוחלטת לתרגיל.

הסבר נוסף -

בואו ננסה לחלק מספר אחר במספרים חיובים הולכים וקטנים עד שנגיע לחלוקה באפס ונבדוק באותה השיטה:

20=2:0.1

200=2:0.01

2,000=2:0.001

20,000=2:0.0001

המנות מתכנסות לאותה תוצאה כמו התרגיל של 1:0, נכון? ככל שנחלק את 2 במספרים שיותר קרובים לאפס כך נקבל מספרים יותר ויותר גדולים. מכאן משתמע שכשנחלק באפס נקבל אינסוף.

ראינו כשמחלקים את 2 באפס ומחלקים 1 באפס, אנחנו מקבלים את אותה התוצאה- אינסוף.

מכאן נקבל ש1=2

וזה לא משהו שאנחנו יכולים לקבל כעובדה. זהו משפט-פייק שלאחריו נשארנו עם סימני השאלה לגבי מנת תרגיל החלוקה באפס. סימני שאלה שקיימים עד היום.