במסגרת פינתנו: "דברים שלא מסבירים טוב או לא מסבירים בכלל בבית ספר" נקדיש שתי פינות שבועיות לאפס הזה. כן! זה שתמיד מייצר לנו בעיות, זה שאנחנו עוצרים שניה לפני שמחליפים איתו פעולה מתמטית וזה שעוצרים אחרי פעולה איתו ליותר משנייה כדי להבין למה אנחנו חוזרים אחרי המורה כמו תוכים בלי להבין כלום או שבוהים ב MATH ERROR במחשבון אחרי פעולת החלוקה בו.
החלק השני והקצר יותר יעסוק בפעולת החזקה ב-0, אבל לא של כל מספר אלא של 0 בעצמו.
נתחיל בהתחלה- מהי חזקה? חזקה היא קיצור של פעולת כפל חוזרנית באותו המספר. מעריך החזקה (המספר למעלה) סופר לנו כמה פעמים אנחנו אמורים להכפיל את בסיס החזקה (המספר למטה) בעצמו.
מה קורה כאשר 0 נמצא בבסיס החזקה? אנחנו צריכים להכפיל את 0 בעצמו מספר פעמים לפי מה שיגיד לנו המעריך. לא משנה מה יהיה מספר הפעמים בו נכפיל את 0 בעצמו, כל עוד המעריך חיובי, תמיד נקבל אפס (הציצו בדוגמא 1 כאן למטה)
מה קורה כאשר 0 נמצא כמעריך? הרי אנחנו לא מכפילים את המספר בעצמו כלל.
אפשר להבין את זה ע"י חלוקה בבסיס והליכה "ברברס" אל מעריכים הולכים וקטנים (עשינו משהו דומה כשדברנו על קובינטוריקה כאן) לפי דוגמא 2 למטה, אנחנו רואים שכאשר מגיעים לחזקת 0, התשובה היא 1. יש עוד כמה הסברים לכך, נפרט בפוסט נפרד.
ועכשיו לשאלת מליון הדולר- מה קורה ש0 גם במעריך (למעלה) וגם בבסיס (למטה)?
ראינו שכאשר 0 במעריך החזקה התשובה היא 1 וכאשר 0 בבסיס החזקה התשובה היא 0. אז כאשר 0 נוכח גם במעריך וגם בבסיס התשובה היא 0 או 1? אולי אף אחת מהן?
ננסה לבדוק לאן X^X (איקס בחזקת איקס) שואף כאשר מתקרבים מהכיוון החיובי ל 0 (נציב מספרים חיוביים הולכים וקטנים) . לפי דוגמא 3 למטה, אנחנו רואים כי ככל שמתקרב ל0, הערך המקורב יהיה 1. תאמינו לנו- גם מהכיוון השני הערך שנתקרב אליו יהיה ל1.
אם כך- החלטנו. 0 בחזקת 0 שווה ל1, לא?
לא ממש. אנחנו בדקנו שאיפה ל0 רק מבחינת המספרים הממשיים. קיים במתמטיקה גם מישור המספרים המרוכבים וכאשר מנסים לבדוק שאיפה ל0 של X^X ממספר כיוונים במישור המספרים המרוכבים, מקבלים תשובות שונות מ1 (ראו דוגמא 4 כאן למטה). המספרים האדומים בגרף במישור המרוכב מהווים את ערכי הפוקציה X^X כאשר איקס שואף ל0. ניתן לראות כי אנחנו מקבלים ערכים אחרים מ1 כמו למשל: 1.5,0.5,2.
ולכן, ניתן להגיד שאין תשובה אחת מוגדרת לתרגיל 0 בחזקת 0 וכאשר תקליקו את התרגיל במחשבון תקבלו:
טעות מתמטית MATH ERROR.