כחלק ממגמת טמטום האנושות לדעת והשלכות חוסר ודאות בעידן הנוכחי, אנו נתקלים בתופעות
אבסורדיות כמו אנשי ״כדור הארץ השטוח״ ואנשים המערערים על קביעות מדעיות רק כי יש להם טלפון חכם ביד. לאחרונה, הפיד שלי מלא בתרגילי סדר פעולות חשבון שלמדנו בכיתה ד׳ או ה׳ ובתוצאות שונות ומשונות עבור כל תרגיל. הנה דוגמה:
כדי שהמגמה הזו תיפסק והאנושות תצליח להציל את עצמה, חשבנו לעשות חזרה קצרה על סדר הפעולות ומה עומד מאחוריו.
סדר פעולות החשבון נולד כשחלה הבנה בקרב מתמטיקאים שצריך שיהיו כללים אחידים, קבועים וחד משמעים לרצף של פעולות מסוגים שונים. המון מתמטיקאים היו שותפים לפיתוח של הכללים ולכן קשה לתת קרדיט לאדם אחד או שניים על פיתוח הכללים.
אם הולכים ממש אחורה בזמן לתקופות בהן הודו, מצרים וסין העתיקות היו בשיא תפארתן, מגלים כי לכל אחת מהן היה סדר משל עצמה: ההודים השתמשו בשיטה של סימנים, שנקראה סידהנתה וכללו מספרים כמו אפס, מספרים שלילים ושברים. סדר הפעולות שלהם היה זהה לזה הקיים היום חוץ מהחזקות שבאו ראשונות בחשבון ורק אז שורשים.
המצרים, לעומת זאת, השתמשו בשיטה של הירוגליפים ושברים לייצוג הסדר. לא היה להם סדר פעולות קבוע, אלא הסתמכו על ההקשר והפריסה של הבעיה כדי לקבוע את רצף השלבים. לעתים קרובות הם השתמשו בשברי יחידה, או בשברים עם מונה של אחד, כדי לפשט שברים מורכבים, והשתמשו בשיטה של מיקום כוזב כדי לפתור משוואות.
בסין העתיקה, השתמשו במוטות או תווים כדי לייצג מספרים וחשבוניה או לוח ספירה כדי לבצע פעולות. סדר הפעולות שלהם היה זהה לזה הקיים היום חוץ מאשר חיבור וחיסור שקיבלו אותה חשיבות בסדר כמו פעל וחילוק. הקדימות נקבעה על פי סוגריים.
אפשר ללכת קצת קדימה בזמן לתקופות המאה ה16 וה17, לתקופות בהן חיו מתמטיקאים כמו רנה דאקרט, פרנסואה וייט (כן כן, ההוא מנוסחאות וויטה) וגוטפריד ליבניץ, שפיתחו את חוקי האלגברה המודרנית ופעולות בחזקות ושורשים, כמו גם הצגת הסוגריים כתנאי לקדימות של פעולה. למרות הפיתוחים, לא היתה הסכמה אוניברסלית לסדר פעולות החשבון עד המאה ה19.
האזכור הראשון של הסדר הקיים היום נמצא בספר ״קורס ראשון של אלגברה״ מאת דוויד יוג׳ין סמית וויליאם דיוויד ריב , שיצא לאור ב1917. בספר, דיוויד ווויליאם מסתמשים במונח ״ההירכיה של הפעולות ואני מצטט: "פעולות הכלולות בסוגריים צריכות להתבצע לפני כל פעולות אחרות; לאחר מכן, מבין הפעולות הנותרות, אלו המצוינות על ידי מעריכים, שורשים או וינקולום (קו אופקי
______
המקבץ מונחים כמו a+b ) יש לבצע לפני הכפל או החלוקה, ואלו לפני חיבור או חיסור."
ויליאם בטס הפך את ראשי התיבות PEMDAS (Parentheses, Exponents, (Multiplication/Division, Addition/Subtraction לפופולריים כדי לעזור לתלמידים לזכור את סדר הפעולות. ביטויים כמו GEMA (grouping, exponents, multiplication and division, addition and subtraction) או BODMAS (brackets, orders, division and multiplication, addition and subtraction) היו בעצם וריאציות שונות של PEMDAS. כדי לזכור את PEMDAS גם מלמדים כ"Please Excuse My Dear Aunt Sally".
הסדר קובע (סוגריים, חזקות ושורשים, כפל וחילוק, חיבור וחיסור) או בקיצור סחש כחיחיחי.
פתרון פעולות בתוך סוגריים קטנות יבוא לפני פתרון פעולות בתוך סוגריים מסולסלות שיבוא לפני פתרון פעולות בתוך סוגריים מרובעות ופעולות בדרגת קדימות זהה (כפל וחילוק, חיבור וחיסור) נפתור אותם משמאל לימין.
עכשיו , אחרי שהבהרנו את כל זה -בתרגיל שבתמונה למעלה, הגבר המשופם צדק.
מתי לא חייבים להשתמש בסדר פעולות חשבון?
חוק הפילוג- מאפשר לנו להכפיל מספר שנמצא מחוץ לסוגריים באיברים בתוך הסוגריים במקום לפתור קודם כל חיבור או חיסור בתוך הסוגריים. לדוגמא: 3x(4-2)=3X4-3X2.
חוק החילוף בחיבור- מאפשר לנו לחבר את האיברים בכל סדר שנראה לנו במקום לעשות זאת רק משמאל לימין.לדוגמא: 4+5+1 אפשר לפתור גם כ1+5+4.
חוק החילוף בכפל- מאפשר לנו לכפול את האיברים בכל סדר שנראה לנו במקום לעשות זאת רק משמאל לימין. לדוגמא: 3x5x10 אפשר לפתור גם כ10x5x3.
חזקה כפולה - כאשר יש חזקה בחזקה יש לעבוד מלמעלה למטה. לדוגמא:
